Vybrané kapitoly z nerovnovážné statistické fyziky I – ZS 2025/26

Na této stránce lze nalézt shrnutí nejdůležitějších pojmů a vztahů ve zjednodušené podobě. Slouží jen jako doplněk k přednášce a pro snadnější celkovou orientaci. Některé koncepty jsou detailněji rozvedeny v přiložených poznámkách.

1. Základní problém statistické fyziky

Různé úrovně popisu fyzikálních systémů

mikroskopická dynamika
- deterministický charakter: úplný soubor pozorovatelných, jednoznačné trajektorie, obyčejné/parciální diferenciální rovnice pro časový vývoj
- vratnost (reverzibilita): symetrie vůči inverzi času, absence šipky času
mezoskopická & nanoskopická dynamika
- stochastický charakter: redukovaná množina pozorovatelných, náhodné trajektorie, šum, stochastické rovnice
- přítomnost paměti (obecně) / absence paměti (v markovských procesech)
makroskopická dynamika
- autonomní charakter: uzavřené evoluční rovnice pro časový vývoj redukovaného souboru "relevantních" makroskopických pozorovatelných
- nevratnost (obecně): absence symetrie vůči inverzi času, termodynamická šipka času

Rovnovážná SF: rovnovážné stavy a procesy → nerovnovážná SF: časový vývoj, nerovnovážné (stacionární / nestacionární) stavy a procesy

Co je naším cílem

pomocí vhodných aproximací odvodit některé základní fenomenologické rovnice
- mezoskopické dynamiky (Langevinovu rovnici, Pauliho řídící rovnici,...)
- makroskopické dynamiky (Boltzmannovu rovnici, difúzní rovnici,...)
určit, na jakých mikroskopických vlastnostech závisí hodnoty fenomenologických parametrů (koeficientu tření, konstanty difúze,...)
porozumět tomu, jak se z deterministické vratné dynamiky na mikro-úrovni vynořují:
- stochastická dynamika na mezo-úrovni
  - detailní rovnováha jako důsledek mikro-vratnosti
  - bezpaměťový (markovský) charakter v důsledku výrazného oddělení časoých škál
  - fluktuačně-disipační teorém a jeho důsledky pro Brownův pohyb, tření, tepelný šum v elektrických obvodech,...
- autonomní dynamika na makro-úrovni
  - H-teorém jako statisticko-mechanická verze II. termodynamického zákona
  - makro-nevratnost jako extrémní důsledek detailní rovnováhy
- nerovnovážné stavy umožňující ustálený transport energie, částic apod.

2. Mikroskopický model: hamiltonovská dynamika (shrnutí)

kanonické proměnné, kanonické rovnice, mikroskopický propagátor (fázový tok), pravděpodobnostní rozdělení na fázovém prostoru (fázová hustota)
Liouvilleův teorém (nestlačitelnost fázové tekutiny): \(d\Omega(x_t) = d\Omega(x)\)
Liouvilleova rovnice (časový vývoj fázové hustoty): \(\partial w_t / \partial t = \{H, w_t\}\)
Poincarého rekurence ("kvaziperiodičnost" fázových trajektorií)
časový vývoj středních hodnot pozorovatelných \(\langle A \rangle = \int A(x) w(x) d\Omega\) – dvě ekvivalentní reprezentace:
- vyvíjí se pozorovatelné (Lagrangeův popis fázové tekutiny, klasická varianta Heisenbergova obrazu): \(\langle A(t) \rangle = \int A(x_t) w(x) d\Omega\), \(x_t\) – fázová trajektorie
- vyvíjí se fázová hustota (Eulerův popis, klasický Schrodingerův obraz): \(\langle A(t) \rangle = \int A(x) w_t(x) d\Omega\)

Reformulace základního problému

Obecně neuzavřené evoluční rovnice pro (střední) hodnoty pozorovatelných: \(\frac{d\langle A(t) \rangle}{dt} \stackrel{?}{=} \Phi[\langle A(t) \rangle]\)

Poznámky

Mikroskopická vratnost

invariance dynamiky vůči inverzi času a kinematické inverzi: \((x,t) \mapsto (x^*,-t), \quad x^* = (q,-p)\)
Podmínka pro hamiltonián: \(H(x^*) = H(x)\)
- nesplněna například pro částice v magnetickém poli
- zobecnění: \(H \mapsto H^*\), např. \(\vec{B}(r) \mapsto -\vec{B}(r)\)
formulace pro fázový tok: \(\ast\, U_t\, \ast = U_{-t}\)

Poznámky

3. Redukovaný popis

Klasifikace makroskopických pozorovatelných

1-částicové: \(A(x) = \sum_i A_1(x_i)\)
- celková hybnost, celková kinetická energie, počet částic v některé oblasti,...
2-částicové: \(A(x) = \sum_{i<j} A_2(x_i,x_j)\)
- celková interakční energie částic s párovou interakcí,...
p-částicové: \(A(x) = \sum_{i_1 < i_2 < \ldots < i_p} A_p(x_{i_1},\ldots,x_{i_p})\)

Redukované hustoty

1-částicová: \(f_1(x_1) = \int w(x) d\Omega_{N-1}(x_2,\ldots, x_N)\) → \(\langle A \rangle = \int A_1 f_1 d\Omega_1\)
2-částicová: \(f_2(x_1,x_2) = \int w(x) d\Omega_{N-2}(x_3,\ldots,x_N)\) → \(\langle A \rangle = \int A_2 f_2 d\Omega_2\)
- zahrnuje dvoučásticové korelace, na nichž závisí střední hodnoty 2-částicových pozorovatelných

BBGKY hierarchie evolučních rovnic

přepis Liouvilleovy rovnice do tvaru řetízku (vázaných) rovnic pro redukované hustoty
\(H(x) = \sum_i H_1(x_i) + \sum_{i<j} H_2(x_i, x_j),\quad H_2(x_i,x_j) = W(|r_i - r_j|)\)
- systém částic s párovou interakcí
\(\partial f_1 / \partial t = \{ H_1,f_1 \} + I_1[f_2]\)
- 1-částicová Liouvilleova rovnice rozšířená o srážkový integrál, který (obecně) závisí na 2-částicových korelacích
- užitečná interpretace: rovnice kontinuity pro neinteragující systém (efektivně 1 částice), ale s lokální produkcí/zánikem částic
\(\partial f_p / \partial t = \{ H^{(p)},f_p \} + I_p[f_{p+1}]\), \(\quad H^{(p)}\) – hamiltonián \(p\) částic
- obecná p-částicová rovnice hierarchie

Rozvázání rovnic ("decoupling")

fyzikálně zdůvodněné aproximace pro srážkové integrály → uzavřený systém (malého počtu) kinetických rovnic → řeší "základní problém" (Skutečně?)
- lze matematicky dokázat jen ve speciálních případech jako jistá limitní tvrzení
přiblížení středního pole: \(f_2(x_1,x_2) \simeq f_1(x_1) f_1(x_2)\)
- nejjednodušší aproximace zanedbávající 2-částicové korelace
- \(I_1[f_2] \simeq \{ \bar H_2[f_1], f_1 \},\quad \bar H_2[f_1](x_1) = \int H_2(x_1,x_2) f_1(x_2) d\Omega_1(x_2)\)
- interpretace: dynamika 1 částice ve vnějším poli efektivně zahrnujícím interakci se všemi ostatními částicemi → modifikovaný hamiltonián \(H_1 + \bar H_2[f_1]\)
- (nelineární) Landauova-Vlasovova rovnice
  - dobře popisuje dynamiku částic se slabou dalekodosahovou interakcí (například elektrony v plazmatu se stíněnou coulombovskou interakcí)
  - nedokáže správně popsat systém částic, které silně interagují na krátkých vzdálenostech (například "bodové" srážky molekul řídkého plynu)
- vratná makroskopická dynamika bez disipativních mechanismů (viz později)